作业帮三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:38:31
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
反证法
不妨设∠A∠B∠C中∠A最大,则BC大于其它两边（大边对大角）,所以EC>BD和AF,所以∠CFE在对应的3个角中最大,所以∠C在对应的三个角中最小
因为∠A在对应的三个角中最大,所以∠AFD在对应的三个角中最大（相等边的底角）
∠AFD+60度=∠FEC+∠C
因为∠AFD>∠FEC,所以∠C>60度
三角形中,最小的角大于60度,是不可能的.所以假设不成立
所以三角形ABC是正三角形
你看看这样行不行
还有没有其他条件？
1）∵△ABC为正三角形
∴∠A=∠B=∠C=60
∵∠1=∠2=∠3
∴△DBE∽△ECF∽△FAD
∴∠BED=∠EFC
∵∠BED+∠DEF+∠3=∠3+∠C+∠EFC=180
∴∠DEF=∠C=60
同理∠EDF=60，∠DFE=60
即△DEF为正三角形。
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，
∠A=∠B=∠CAD=BE=CFEC=AF=BD
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴D...
全部展开
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，
∠A=∠B=∠CAD=BE=CFEC=AF=BD
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
（2）证明：（1）的逆命题成立，
已知：△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等边三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
DF=ED=FE∠A=∠B=∠C∠ADF=∠BED=∠CFE
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．
三角形ABC没有告诉你是等边三角形，上面的解法条件不够
收起