作业帮在等差数列︴an︴中,若bn＝a2n－1,试证明︴bn︴是等差数列 1都是脚标
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 18:50:39
在等差数列︴an︴中,若bn＝a2n－1,试证明︴bn︴是等差数列 1都是脚标
在等差数列︴an︴中,若bn＝a2n－1,试证明︴bn︴是等差数列 1都是脚标
在等差数列︴an︴中,若bn＝a2n－1,试证明︴bn︴是等差数列 1都是脚标
是a(2n-1)吗?
因为︴an︴为等差数列
所以设an=a1+(n-1)d,a1为首项,d为等差系数
bn=a(2n-1)=a1+(2n-2)d
b(n+1)=a[2(n+1)-1]=a(2n+1)=a1+(2n)d
所以b(n+1)-bn=a1+(2n)d-a1-(2n-2)d
=2d
所以bn的后项减前项是一个常数
所以bn为等差数列
{an}为等差数列，设常数d为公差，a1为首项，则a2n-1=a1+(2n-1-1)d=a1+(2n-2)d ,
a2n-3=a1+(2n-3-1)d=a1+(2n-4)d ,再由bn＝a2n－1，则bn-bn-1=a2n-1-a2(n-1)-1
=a2n-1-a2n-3，把a2n-1及a2n-3代入等于2d为常数，又当n=1时，b1=a1,故{bn}为以a1为首项，以2d为公差的等差数列。
证明：根据题设得：
b(n+1)-b(n)=a(2(n+1)-1)-a(2n-1)=a(2n+1)-a(2n)=(a(2n+1)-a(2n))+((a(2n)-a(2n-1)) ……①
因{a(n)}为等差序列，设其公差为d（d为常数），则(a(2n+1)-a(2n)) =((a(2n)-a(2n-1)) =d，
代入①式得 b(n+1)-b(n)=2d (2d为常数)，...
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证明：根据题设得：
b(n+1)-b(n)=a(2(n+1)-1)-a(2n-1)=a(2n+1)-a(2n)=(a(2n+1)-a(2n))+((a(2n)-a(2n-1)) ……①
因{a(n)}为等差序列，设其公差为d（d为常数），则(a(2n+1)-a(2n)) =((a(2n)-a(2n-1)) =d，
代入①式得 b(n+1)-b(n)=2d (2d为常数)，因此
当n=1时首项b(1)=a(1)，当n≥2，且n为任意正整数时，b(n)-b(n-1)=2d (2d为常数)，始终成立。
故{b(n)}为等差序列。
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