作业帮在三角形ABC中,BC=1,AB=根号3,AC=根号6,点P是三角形ABC外接圆上一动点,求向量BP与向量BC数量积的最大值是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 16:11:01
在三角形ABC中,BC=1,AB=根号3,AC=根号6,点P是三角形ABC外接圆上一动点,求向量BP与向量BC数量积的最大值是
在三角形ABC中,BC=1,AB=根号3,AC=根号6,点P是三角形ABC外接圆上一动点,求向量BP与向量BC数量积的最大值是
在三角形ABC中,BC=1,AB=根号3,AC=根号6,点P是三角形ABC外接圆上一动点,求向量BP与向量BC数量积的最大值是
这题首先要求出外接圆的半径：2r=a/sinA,a=1,cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(6+3-1)/6sqrt(2)=2sqrt(2)/3,故：sinA=1/3,即：2r=3,即：r=3/2
设O点是△ABC的外心,则：∠BOC=2A,故：cos(∠BOC)=cos(2A)
=1-2sinA^2=7/9,故：OB·OC=|OB|*|OC|*cos(∠BOC)=(9/4)*(7/9)=7/4
而：BP=OP-OB,BC=OC-OB,故：BP·BC=(OP-OB)·(OC-OB)=OP·OC+|OB|^2-OB·OC-OP·OB
=OP·(OC-OB)+|OB|^2-OB·OC=OP·BC+9/4-7/4=OP·BC+1/2
当：OP与BC同向时,OP·BC取得最大值：|OP|*|BC|*cos(0)=(3/2)*1*1=3/2
故BP·BC的最大值：3/2+1/2=2
此题最好这样理
BP*BC=|BP||BC|cos
而|BP|cos
设外接圆圆心O，半径r
作OD⊥BC于D，向C点平移OD使之与圆O相切于P，与BC交于E，则此时投影最大，即为所求P位置
现在求|BP|cos
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此题最好这样理
BP*BC=|BP||BC|cos
而|BP|cos
设外接圆圆心O，半径r
作OD⊥BC于D，向C点平移OD使之与圆O相切于P，与BC交于E，则此时投影最大，即为所求P位置
现在求|BP|cos
BP*BC=|BP||BC|cos
问题就转化为求半径r
由正弦定理（即2r=a/sinA）可得r=1.5,从而BP*BC=0.5+1.5=2
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