已知f(x)=(1/2)^x(x>0)和定义域在R上的奇函数g(x),当x>0时,g(x)=f(x),试求g(x)的反函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 17:33:25
已知f(x)=(1/2)^x(x>0)和定义域在R上的奇函数g(x),当x>0时,g(x)=f(x),试求g(x)的反函数

已知f(x)=(1/2)^x(x>0)和定义域在R上的奇函数g(x),当x>0时,g(x)=f(x),试求g(x)的反函数
已知f(x)=(1/2)^x(x>0)和定义域在R上的奇函数g(x),当x>0时,g(x)=f(x),试求g(x)的反函数

已知f(x)=(1/2)^x(x>0)和定义域在R上的奇函数g(x),当x>0时,g(x)=f(x),试求g(x)的反函数
g(x)为奇函数,故有x>0,-g(-x)=g(x)=f(x)
g(-x)=-f(x)=-1/2^x
而-x

f(x)=y
y=(1/2)^x
y=2^(-x)
-x=log(2)(y)
x=-log(2)(y)
x>0时f(x)<1
g(x)反函数是 g'(x)=-log(2)(x) x<1

当x>0,g(x)=f(x)=1/(2^x)
因为g(-x)=-g(x)=-1/(2^x),所以当x<0,g(x)=-1/(2^(-x))
又g(x)为奇函数,所以g(0)=0
综上,g(x)反函数h(x),
x>0,h(x)=-log(2,x)
x=0,h(x)=0
x<0,h(x)=log(2,-x)