作业帮在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上的任一点,PE‖AB交AC于E,PF‖AC交AB于F.（1）设BP=x,将S△PEF用x表示；（2）P在BC的什么位置时,S△PEF最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:51:49
在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上的任一点,PE‖AB交AC于E,PF‖AC交AB于F.（1）设BP=x,将S△PEF用x表示；（2）P在BC的什么位置时,S△PEF最大?
在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上的任一点,PE‖AB交AC于E,PF‖AC交AB于F.
（1）设BP=x,将S△PEF用x表示；
（2）P在BC的什么位置时,S△PEF最大?
在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上的任一点,PE‖AB交AC于E,PF‖AC交AB于F.（1）设BP=x,将S△PEF用x表示；（2）P在BC的什么位置时,S△PEF最大?
解
(1)做EH⊥BC FG⊥BC
∵EP‖AB
∴△EPC∽△ABC
根据相似三角形对应高的比等于相似比,可得
EH/AD=PC/BC
设BP=x,PC=2-X
代入可得
EH=1 - X/2
同理可得
FG=X/2
∵AB‖EP AC‖FP
∴四边形AFPE是平行四边形
∴S△PEF=1/2四边形AFPE
=S△ABC-S△FPB-S△EPC
=1-1/2X*X/2-1/2(2-X)*(1 - X/2)
=-1/2X²+X (0＜X≤2)
2)三角形面积的二次函数开口向下,有最大值,
根据顶点坐标公式可得
当X=1时,有最大值
S△PEF最大=1/2
即当点P是BC的中点时,三角形面积有最大值 .
△ABC、△FBP、△EPC相似，高比底：1:2，S△FBP=x*（x/2）再除以2,=4分之x的平方，S△EPC=（2-x）*（ 2分之（2-x））再除以2=4分之（2-x）的平方，
S△PEF=2分之【1-4分之x平方-4分之（2-x）的平方】=-1/4*【x-1 平方】+3/4
2，x=1时，S最大，所以在BC中点
S△PEF=(S△ABC-S△BPF-S△PEC)/2
S△ABC=1*2*1/2=1
S△BPF=X^2/4
S△PEC=(2-X)^2/4
S△PEF=(1-X^2-(2-X)^/4)/2
抛物线的最顶点即是X
画图，可得出平行四边形AEPF，△BFP,△PEC三部分
总面积相等
平行成比例，所以有S△BFP=x^2/4,S△PEC=(2-x)^2/4
S△ABC=1
S平行四边形AEPF=1-x^2/4-(2-x)^2/4=-x^2/2+x
三角形面积是平行四边形面积一半
S△PEF=S平行四边形AEPF/2=-x^2/4+x/2=-1/2（x-1）^2+...
全部展开
画图，可得出平行四边形AEPF，△BFP,△PEC三部分
总面积相等
平行成比例，所以有S△BFP=x^2/4,S△PEC=(2-x)^2/4
S△ABC=1
S平行四边形AEPF=1-x^2/4-(2-x)^2/4=-x^2/2+x
三角形面积是平行四边形面积一半
S△PEF=S平行四边形AEPF/2=-x^2/4+x/2=-1/2（x-1）^2+1/2
x=1时S△PEF最大=1/2
所以 当P在BC中点时S△PEF最大，最大为1/2
收起
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