f(x)=ax2+(b+1)X+(b-1),对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围

f(x)=ax2+(b+1)X+(b-1),对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围
f(x)=ax2+(b+1)X+(b-1),对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围

f(x)=ax2+(b+1)X+(b-1),对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围
依题意,2个不动点即f(x)=x恒有两个不等实根
即ax^2+bx+b-1=0有两个不等实根
故有a0,且：
delta=b^2-4a(b-1)=b^2-4ab+4a>0
对于任意b,上式恒成立,故其判别式=(4a)^2-4*4a

因为函数f(x)恒有两个相异的不动点
所以f(x)=x恒有两个不等实根
即 ax²+(b+1)x+(b-1)=0有两个不等实根
即 ax²+bx+b-1=0有两个不等实根
所以a≠0，且b²-4a(b-1)＞0
即 (b-2a)²-4a²+4a＞0
由于b取值为任意实数，所以要使函数...

全部展开

因为函数f(x)恒有两个相异的不动点
所以f(x)=x恒有两个不等实根
即 ax²+(b+1)x+(b-1)=0有两个不等实根
即 ax²+bx+b-1=0有两个不等实根
所以a≠0，且b²-4a(b-1)＞0
即 (b-2a)²-4a²+4a＞0
由于b取值为任意实数，所以要使函数f(x)恒有两个相异的不动点，则-4a²+4a＞0，
即0＜a＜1
所以a的取值范围为0＜a＜1

收起

若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点
f(x)=ax＾2+(b+1)x+(b-1) =x
ax＾2+bx+(b-1)=0
△=b＾-4a（b-1）＞0
b＾-4ab+4a＞0
△=16a＾-16a＜0
0＜a＜1