如果a^x=b^y=1994^z,a,b为正整数,且1/x+1/y=1/z,求2^a+b=?

如果a^x=b^y=1994^z,a,b为正整数,且1/x+1/y=1/z,求2^a+b=?
如果a^x=b^y=1994^z,a,b为正整数,且1/x+1/y=1/z,求2^a+b=?

如果a^x=b^y=1994^z,a,b为正整数,且1/x+1/y=1/z,求2^a+b=?
是求2^a+b=?还是2^（a+b)=?
根据题目 2^a+b=?
令a^x=b^y=1994^z=m,则：
x=loga(m)=lgm/lga,
y=logb(m)=lgm/lab,
z=log1994(m)=lgm/lg1994,
1/x+1/y=1/z
lga/lgm + lgb/lgm =lg1994/lgm
lga +lgb=lg1994
lgab=lg1994
ab=1994=2 * 997=1 *1994
当a=1,b=1994或者a=1994,b=1时,必然有z=0,与1/z(分母)矛盾;
所以：a=2,b=997,此时2^a+b=4+997=1001;
或者：a=997,b=2,此时2^a+b=2^997+4;

a^x=b^y=1994^z
记：xlna=ylnb=zln1994=k
1/x=(lna)/k,1/y=(lnb)/k,1/z=(ln1994)/k
1/x+1/y=(lna)/k+(lnb)/k=(lnab)/k=1/z=(ln1994)/k
ab=1994=2*997
a=2,b=997,2^a+b=4+997=1001
a=997,b=2,2^a+b=2^997+2

a^x=b^y=1994^z
取lg
xlga=ylgb=zlg1994
令xlga=ylgb=zlg1994=k
则1/x=(lga)/k
1/y=(lgb)/k
1/z=(lg1994)/k
1/x+1/y=1/z,
所以(lga)/k+(lgb)/k=(lg1994)/k
lga+lgb=lg(ab)=lg1994
ab=1994=2*997
997是质数
a,b为正整数
所以a+b=2+997=999
2^(a+b)=2^999

a^x=b^y=1994^z,
设,K=a^x=b^y=1994^z,有
X=loga(K),Y=logb(K),Z=log1994(K).
1/x+1/y=1/z,(X+Y)/X*Y=1/Z有,
(X+Y)/X*Y=[(loga(K)+logb(K)]/[loga(K)logb(K)]
=[log2(b)+log2(a)]/log2(k).
1/Z...

全部展开

a^x=b^y=1994^z,
设,K=a^x=b^y=1994^z,有
X=loga(K),Y=logb(K),Z=log1994(K).
1/x+1/y=1/z,(X+Y)/X*Y=1/Z有,
(X+Y)/X*Y=[(loga(K)+logb(K)]/[loga(K)logb(K)]
=[log2(b)+log2(a)]/log2(k).
1/Z=1/log1994(K)=log2(1994)/log2(k).
则有
[log2(b)+log2(a)]/log2(k)=log2(1994)/log2(k),
log2(b)+log2(a)]=log2(1994),
log2(ab)=log2(1994),
ab=1994,因为,a,b为正整数,ab=2*997.
∴a+b=2+997=999.
2^a+b=2^999.

收起

lg(a^x)=lg(b^y)=lg1994^z
x lg a=z lg1994
y lg b=z lg1994
1/x+1/y=1/z
lga/(zlg1994)+lgb/(zlg1994)=1/z
lga+lgb=lg1994
lga*b=lg1994
a*b=1994
因 a,b 为正整数
则a=2，b=997（质数）或
a=997，b=2（质数）
则2^a+b=2^999