已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形角A=90°,AB‖CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成的角的余弦值.图大概是这个样子的,色淡的是虚线

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 15:00:43

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形角A=90°,AB‖CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成的角的余弦值.图大概是这个样子的,色淡的是虚线
已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形
角A=90°,AB‖CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成的角的余弦值.图大概是这个样子的,色淡的是虚线

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形角A=90°,AB‖CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成的角的余弦值.图大概是这个样子的,色淡的是虚线
解证：连AC1,  过点C作CK平行于AD
        设异面直线BC1与DC所成的角为a
        因为,AB平行于CD
        所以,直线BC1与AB所成的角也为a
        由题得：AD1=2根号2,  D1C1=DC=1
        所以,AC1=根号[(AD1)²+(D1C1)²]=3
      在Rt△CKB中,BC=根号[(CK)²+(KB)²]=根号[2²+(4-1)²]=根号13
     在Rt△C1CB中,BC1=根号[(CC1)²+(BC)²]=根号[2²+(根号13)²]=根号17
     在△ABC1中,AB=4,  AC1=3,  BC1=根号17
   所以,由余弦定理：cosa=[4²+(根号17)²-3²]/2*4*(根号17)=3/(根号17)=3*(根号17)/17

几何法分析求DC与BC1 的夹角 COS
即可作DC平行线AE，E点在AB上，变为求AE与BC1的夹角，
连结AC1可得三角形ABC1，即求角ABC1的COS
运用余弦定理，求出三边长度即可求出

所以转化为求 AB AC1 ...

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几何法分析求DC与BC1 的夹角 COS
即可作DC平行线AE，E点在AB上，变为求AE与BC1的夹角，
连结AC1可得三角形ABC1，即求角ABC1的COS
运用余弦定理，求出三边长度即可求出

所以转化为求 AB AC1 BC1三条线的长度
1.AD1=2根号2， D1C1=DC=1 AC1=AD1^2+D1C1^2开根号=3
2.AB=4
3.连结CE，求出BE CE 可得BC 进而求BC1
CE=AD=2 BE=AB-AE=4-1=3 所以BC=根号13 BC1=根号17
根据余弦定理a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 马上可得出
COSABC1==[4²+(根号17)²-3²]/2*4*(根号17)=3/(根号17)=3*(根号17)/17
向量法以A为原点设为(0,0,0) 因为A为直角还有直棱柱
所以AB方向可为 X轴 AD方向可为Y轴 AA1方向可为Z轴
那么A点=(0,0,0) B点=(4,0,0) C点=(1,2,0) D点=(0,2,0) C1点=(1,2,2)
BC1向量=(3,-2,-2) CD向量=(1,0,0)
向量夹角可以运用公式 α·β=|α|*|β|cosθ cosθ=α·β/|α|*|β|
α·β=x1x2+y1y2+z1z2=3+0+0=3
|α|=|BC1向量|=根号X1^2+Y1^2+Z1^2=根号17 同理|β|=|CD向量|=1
所以cosθ=α·β/|α|*|β|=3/根号17*1=3根号17/17
建议：向量法运用简单一些，建议多运用向量法求解，一般常规图形，运用向量法，省时省力。除非特殊图形向量法不好求解就作辅助线运用几何法，希望对你有帮助。

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建立直角坐标系：以A点为原点，AB的正向为Y轴，AD的正向为X轴，AA1的正向为Z轴。
则，各点的坐标为：O(0,0,0), B(0,4,0), D(2,0,0), C((2,1,0), C1((2,1,2).
设向量BC1=a, 向量DC=b,
则， a=(2,1,2)-(0,4,0)=(2,-3,2).
b=(2,1,0)-(2,0,0)=(0,1,0).
a. b=2*0+(-3)*1+0*2=-3.
|a|=√=√[(2^2+(-3)^2+2^2]=√17.
|b|=√(0+1+0)=1.
cos=a.b/|a|*|b|=-3/(1*√17)=-3√17/17.
=arccos(-3√17/17). ----即为所求。

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