过点M（2,-2P）作抛物线x²=2py（p>0）的两条切线,切点分别为A.B,若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为多少?

过点M（2,-2P）作抛物线x²=2py（p>0）的两条切线,切点分别为A.B,若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为多少?
过点M（2,-2P）作抛物线x²=2py（p>0）的两条切线,切点分别为A.B,若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为多少?

过点M（2,-2P）作抛物线x²=2py（p>0）的两条切线,切点分别为A.B,若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为多少?

设切点 A(a, a^2/2p), 抛物线 x^2=2py, 则 y'=x/p, 在A点，切线斜率为 a/p, 故得
a/p=(a^2/2p+2p)/(a-2)=(a^2+4p^2)/[2p(a-2)], 即 a^2-4a-4p^2=0, 解得
a=2±2√(1+p^2), a^2/2p=[4+2p^2±4√(1+p^2)]/p, 即为两切点的纵坐标，
据题设...

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设切点 A(a, a^2/2p), 抛物线 x^2=2py, 则 y'=x/p, 在A点，切线斜率为 a/p, 故得
a/p=(a^2/2p+2p)/(a-2)=(a^2+4p^2)/[2p(a-2)], 即 a^2-4a-4p^2=0, 解得
a=2±2√(1+p^2), a^2/2p=[4+2p^2±4√(1+p^2)]/p, 即为两切点的纵坐标，
据题设得 (4+2p^2)/p=6, p^2-3p+2=0, 解得 p=1, 或 p=2.
则抛物线方程分别为 x^2=2y 或 x^2=4y。

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