作业帮E、F为三角形ABC的AB、BC边的中点,点G、H分AC为三等份,EG、FH的延长线相义于D,求证：ABCD是平行四边形.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 10:29:11
E、F为三角形ABC的AB、BC边的中点,点G、H分AC为三等份,EG、FH的延长线相义于D,求证：ABCD是平行四边形.
E、F为三角形ABC的AB、BC边的中点,点G、H分AC为三等份,EG、FH的延长线相义于D,求证：ABCD是平行四边形.
E、F为三角形ABC的AB、BC边的中点,点G、H分AC为三等份,EG、FH的延长线相义于D,求证：ABCD是平行四边形.
问题看似复杂,其实很简单,主思路是找一条线“搭桥”（图我在计算机上不会画,你自己在纸上按要求画）欲证ABCD是平行四边形,可以从学的几种证法选择合适的.我用证AB平行且等于CD的方法.（一道几何题往往方法很多的）
过H点作HI‖AB,交GD于I点（过G点作GM‖BC一样）
注意AG=GH=HC,∴△AEG≌△HIG.
∴AE=HI,又IH是△GDC底边CD的中位线,即IH平行于CD且等于CD的一半.
∴AE‖CD,且AE=1\2CD.
∴AB平行且等于CD
即ABCD是平行四边形.
我的这种解法就巧妙利用IH这座桥,找到AB与CD的关系,进而证明.
不知你明白了吗?
我想简单说一下一楼的做法,主思路是在要证的平行四边形内再构造平行四边形!
我觉得方法比我的好,但是他证的不咋地,倒角的步骤纯属多余.
在连BG,BH后,既然BH‖EG是中位线定理（当然BH也平行于EG的延长线ED）,那么在三角形BGC中,GH=HC,BF=FC,FH同样也是此三角形的中位线!
所以,在证明时候,只需四个字：“同理可证”FH‖BG,这样就可以了.（这是我指出一楼的美中不足之处.）
连接BD交AC于点O，连接BH
因为E、G分别是AB AH的中点，所以EG平行且等于1/2BH（中位线定理）
因为角DGA=角DHG+角HDG（外角定理），角CGE=角EGB+角BGE
又因为角DGA=角CGE（对顶角相等）角EGB=角GBH(两直线平行，内错角相等)
角DGH=180-(角DHG+角HDG)角DGH=180-(角EGB+角GBH)
全部展开
连接BD交AC于点O，连接BH
因为E、G分别是AB AH的中点，所以EG平行且等于1/2BH（中位线定理）
因为角DGA=角DHG+角HDG（外角定理），角CGE=角EGB+角BGE
又因为角DGA=角CGE（对顶角相等）角EGB=角GBH(两直线平行，内错角相等)
角DGH=180-(角DHG+角HDG)角DGH=180-(角EGB+角GBH)
所以角DGH=角DGH（等量代换）所以BG平行于DH
又因为DG(EG)平行于BH，所以四边形DGBH为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。所以DO=BO,GO=HO（平行四边形对角线互相平分）
因为AG=CH=GH，所以AG+GO=CH+HO 即：AO=CO（等量加等量和相等）
又因为DO=BO，所以四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
呼……累，凑活看吧，我都给你标上条件了~
中线和中位线不同，谢谢丰赵同学的纠错，不过不同的概念不能用同理~等你上了初三就都明白了
收起