已知等差数列,a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,S7=7 ,求Tn=|a1+a2|+|a2+a3||a3+a4|+……+|an+an+1|

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 23:35:40
已知等差数列,a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,S7=7 ,求Tn=|a1+a2|+|a2+a3||a3+a4|+……+|an+an+1|

已知等差数列,a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,S7=7 ,求Tn=|a1+a2|+|a2+a3||a3+a4|+……+|an+an+1|
已知等差数列,a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,S7=7 ,求Tn=|a1+a2|+|a2+a3||a3+a4|+……+|an+an+1|

已知等差数列,a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,S7=7 ,求Tn=|a1+a2|+|a2+a3||a3+a4|+……+|an+an+1|
设等差数列的首项=a,公差=d,则由题意得:
①、﹙a+d﹚²+﹙a+2d﹚²=﹙a+3d﹚²+﹙a+4d﹚²
②、½×[a+﹙a+6d﹚]×7=7
展开、整理、化简得:
③、2a+5d=0
④、a+3d=1
解得:a=-5,d=2;
等差数列为:
-5,-3,-1,1,……,2n-7;
∴Tn=|-5-3|+|-3-1|+……+|2n-7+2n-5|
=8+4+1+[3+5+7+……+﹙2n-7﹚]×2+2n-5
=13+2n-5+½×[3+﹙2n-7﹚]×﹙n-2﹚×2
=2n²-6n+16

a=1
d=0
T=2n

因为a2^2+a3^2=a4^2+a5^2
所以a3^2-a4^2=a5^2-a2^2 //使用平方差公式有
(a3+a4)(a3-a4)=(a5+a2)(a5-a2)------(*1)
又等差数列,所以 a3+a4=a2+a5-----(*2)
1、所以当(*2)不等于0时候,有 a3-a4=a5-a5, 即-d=3d
d=0, 数列为常数列...

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因为a2^2+a3^2=a4^2+a5^2
所以a3^2-a4^2=a5^2-a2^2 //使用平方差公式有
(a3+a4)(a3-a4)=(a5+a2)(a5-a2)------(*1)
又等差数列,所以 a3+a4=a2+a5-----(*2)
1、所以当(*2)不等于0时候,有 a3-a4=a5-a5, 即-d=3d
d=0, 数列为常数列。
即an=1
因此Tn=(n+1)/2

2、若(*2)=0,则 a3+a4=2a1+5d=0
又S7=7, 则a4=a1+3d=1
所以d=2, a1=-5
an=2n-7
因为Tn形式为相邻和绝对值对,因此需要对n做奇偶讨论和符号讨论
当n=1 Tn=5
当n=2 Tn=8
当n=3 Tn=9
当n=4 数列项符号发生变化,因此需要重点关注此项,此时Tn=8
当n>4时,Tn=8+Gn 为简化计算特别引入Gn符号,其中Gn=|b1+b2|+|b3+b4|+……+|b(n-3)+b(n-4)|,其中bn为b1=a5=3, 公差d=2的等差数列 bn=2n+1>0
Gn=b1+b2+……+b(n-3)=(n-3)(n-1)
因此Tn=(n-3)(n-1)+8=n²-4n+12
经过验证有: 当n>4时候有 Tn=n²-4n+11
当n=1 Tn=5
当n=2 Tn=8
当n=3 Tn=9
当 n=4, T4=8

因此当an=1时候,Tn=(n+1)/2;
当an=2n-7时候,
当n>4时候有 Tn=n²-4n+11
当n=1 Tn=5
当n=2 Tn=8
当n=3 Tn=9
当 n=4, T4=8。

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