作业帮在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 18:50:15
![在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值](/uploads/image/z/2999318-14-8.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B1%2F2%2C2%5D%E4%B8%8A%2C%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2Bbx%2Bc%28b%2Cc%E2%88%88R%29%E4%B8%8Eg%28x%29%3D%28x%5E2%2Bx%2B1%29%2Fx%E5%9C%A8%E5%90%8C%E4%B8%80%E7%82%B9%E5%8F%96%E5%BE%97%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%2C%E5%88%99f%28x%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B1%2F2%2C2%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC)
在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在
同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
先求g(x)的最小值：
g(x)=(x^+x+1)/x =x+(1/x) +1
显然,当x∈[1/2,2]时,x>0,1/x >0,g(x)可以用均值不等式（不知楼主学没学x+ 1/x这个对勾函数的性质,要是学了的话也一样可以用,其实两者本质完全相同!）得出：
当x=1/x即x=1（x=-1舍去）时,g(x)=x + 1/x +1的最小值为2√[x*(1/x)] +1 =2+1=3
即,g(x)在区间[1/2,2]上取得最小值的点是：(1,3)
根据题意,在x∈[1/2,2]上,f(x)和g(x)在同一点上取得最小值,也就是说,f(x)=x^+bx+c也在点(1,3)处取得最小值
结合f(x)是开口向上的抛物线,其在[1/2,2]上的最小值并不在两个端点处取得,由抛物线性质可知,(1,3)点必为f(x)的顶点坐标（抛物线在一个闭区间内的最值,只能在区间两点或是顶点处取得,这是显而易见的,且可直接当做结论使用!）
于是,根据抛物线顶点的横、总坐标公式可列出：
-b/(2*1)=1
(4*1*c-b^)/4*1 =3
b=-2,c=4
从而得到:f(x)=x^-2x+4
1/2与2相比较,2距离对称轴x=1的距离更远,显然,f(x)在[1/2,2]上的最大值应在x=2处取得,为f(x)max=f(2)=4