求函数f(x)=x的平方+1/x的平方,在(0,+∞)上的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 07:48:07
求函数f(x)=x的平方+1/x的平方,在(0,+∞)上的最小值

求函数f(x)=x的平方+1/x的平方,在(0,+∞)上的最小值
求函数f(x)=x的平方+1/x的平方,在(0,+∞)上的最小值

求函数f(x)=x的平方+1/x的平方,在(0,+∞)上的最小值
f(x)=x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2
(x+1/x)^2最小值为0
故f(x)最小值为-2
在(0,+∞)上的最小值为0

学过导数吧?用导数做很快的
f(x)=x的平方+1/x的平方,即f=x^2+x^(-2)
对f求导数得df=2x-2x^(-3),由于x在(0,+∞),故f没有最大值,只有最小值
使df=0,可以算出x=-1或1,-1舍去,所以f在x=1处有极值,显然为极小值,同时为最小值,f的最小值为2...

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学过导数吧?用导数做很快的
f(x)=x的平方+1/x的平方,即f=x^2+x^(-2)
对f求导数得df=2x-2x^(-3),由于x在(0,+∞),故f没有最大值,只有最小值
使df=0,可以算出x=-1或1,-1舍去,所以f在x=1处有极值,显然为极小值,同时为最小值,f的最小值为2

收起

f(x)=x^2+1/x^2≥2√(x^2*1/x^2)=2
当且仅当x^2=1/x^2,得x=1时取得取小值f(x)min=2

用均值定理,等于2
当1/x=x时候取到最小值