作业帮已知：如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF于点E．（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；（2）在AB边上是否存在一点M,使得四边
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 19:06:07
已知：如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF于点E．（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；（2）在AB边上是否存在一点M,使得四边
已知：如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF于点E．
（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；
（2）在AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明；若不存在,请说明理由．
已知：如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF于点E．（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；（2）在AB边上是否存在一点M,使得四边
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分析：（1）在AB上取BH=BE,连接EH,根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP,从而得到AE=EP；
（2）先证△DAM≌△ABE,进而可得四边形DMEP是平行四边形．
（1）结论：AE=PE．理由如下：（1分）
在AB上截取BN=BE．（2分）
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,∠B=90°．
∴AN=EC,∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP为正方形ABCD的外角平分线,
∴∠PCE=135°．∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°,∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP．（3分）
存在点M使得四边形DMEP是平行四边形．（4分）
理由如下：过点D作DM∥PE,交AE于点K,交AB于点M,连接ME、DP．（5分）
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°,∴∠ADM+∠AMD=90°,∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB,∠B=∠DAB,
∴△AMD≌△BEA．（6分）
∴DM=AE．∴DM=EP．
∴四边形DMEP为平行四边形．（7分）
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(1)AE=EP.
证明:设AB=X,BE=Y,则EC=X-Y.
作PG垂直BC的延长线于G,易知PG=CG,设
∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠PEC,则:∠BAE=∠PEC;
又∠B=∠PGE=90°.
故⊿ABE∽⊿EGP,AB/BE=EG/PG,即:X/Y=[(X-Y)+CG]/PG=(X-Y+PG)/PG,PG=Y.
即PG=BE....
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(1)AE=EP.
证明:设AB=X,BE=Y,则EC=X-Y.
作PG垂直BC的延长线于G,易知PG=CG,设
∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠PEC,则:∠BAE=∠PEC;
又∠B=∠PGE=90°.
故⊿ABE∽⊿EGP,AB/BE=EG/PG,即:X/Y=[(X-Y)+CG]/PG=(X-Y+PG)/PG,PG=Y.
即PG=BE.则:⊿ABE≌ΔEGP(相似比为1的两个三角形全等),得AE=EP.
(2)AB边上存在这样的点M,而且有无数个.
作DM垂直AE,交AB于M,同理可证:⊿DAM≌ΔABE,则DM=AE=EP;
又PE垂直AE,则PE平行于DM.
所以,四边形DMEP为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(即只要保证DM垂直于AE,则该四边形就是平行四边形)
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