在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=a,PD=a,PA=PC=根号2a.求二面角A-PB-D的大小

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 15:25:14

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=a,PD=a,PA=PC=根号2a.求二面角A-PB-D的大小
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=a,PD=a,PA=PC=根号2a.求二面角A-PB-D的大小

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=a,PD=a,PA=PC=根号2a.求二面角A-PB-D的大小
连AC,BD交于点O；作DM⊥PB于M；ON‖DM且ON∩PB=N.连AN.
可知AC⊥BD于O；ON⊥PB于N.
由AD=a,PD=a,PA=√2a得：PD⊥AD；
由CD=a,PD=a,PC=√2a得：PD⊥CD.
则PD⊥平面ABCD；
AC∈平面ABCD则PD⊥AC；
又AC⊥BD,则AC⊥平面BDP.
则AC⊥PB.
又ON⊥PB,则PB⊥平面AOB.
则PB⊥AN.
PB⊥AN,PB⊥ON,则∠ANO是二面角A-PB-D的平面角.
易知：BD=AC=√2a；
则BP=√(PD^2+BD^2)=√3a;
则△BDP的高BM=BD·PD/BP=√6a/3.
则ON=BM/2=√6a/6;
而AO=AC/2=√2a/2,
则tan∠ANO=AO/ON=√3
∴∠ANO=60度.
则二面角A-PB-D的大小是60度.

设AC交BD于O
由ABCD是正方形，AB=a，PD=a，PA=PC=根号2a
可知PD⊥平面ABCD
所以AC⊥PD
又AC⊥BD
所以AC⊥平面PBD
作OE⊥PB于E，连结AE
由三垂线定理知AE⊥PB
所以∠AEO为二面角A-PB-D的平面角，容易求得∠AEO＝60°
所以二面角A-PB-D的大小为60°...

全部展开

设AC交BD于O
由ABCD是正方形，AB=a，PD=a，PA=PC=根号2a
可知PD⊥平面ABCD
所以AC⊥PD
又AC⊥BD
所以AC⊥平面PBD
作OE⊥PB于E，连结AE
由三垂线定理知AE⊥PB
所以∠AEO为二面角A-PB-D的平面角，容易求得∠AEO＝60°
所以二面角A-PB-D的大小为60°

收起