已知抛物线y^2=2px(p>0)与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF垂直x轴求双曲线的离心率?

已知抛物线y^2=2px(p>0)与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF垂直x轴求双曲线的离心率?
已知抛物线y^2=2px(p>0)与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,
点A是两曲线的交点,且AF垂直x轴
求双曲线的离心率?

已知抛物线y^2=2px(p>0)与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF垂直x轴求双曲线的离心率?
抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的坐标是(p/2,0)
抛物线与双曲线有相同的焦点F
即：c^2=a^2+b^2=(p/2)^2
p^2=4c^2
设点A坐标是(m,n)
∵AF⊥X轴
∴m=p/2
n^2=2pm=p^2
而点A是两曲线的交点,所以点A的坐标满足双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
m^2/a^2-n^2/b^2=1
即：(p/2)^2/a^2-p^2/b^2=1
c^2/a^2-4c^2/(c^2-a^2)=1
两边同时乘以(c^2-a^2)a^2
(c^2-a^2)c^2-4a^2c^2=(c^2-a^2)a^2
c^4-a^2c^2-4a^2c^2=a^2c^2-a^4
c^4-6a^2c^2+a^4=0
两边同时除以a^4
(c/a)^4-6(c/a)^2+1=0
双曲线的离心率e=c/a>1
e^4-6e^2+1=0
e^2=[6+√(6^2-4)]/2=3+2√2
e=√(3+2√2)=1+√2
双曲线的离心率是1+√2

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的坐标是(p/2,0)
抛物线与双曲线有相同的焦点F
即：c^2=a^2+b^2=(p/2)^2
p^2=4c^2
所以y^2=4cx 焦点为(c,0)准线为x=-c
交点垂直于x轴，那么它的横坐标为c
根据抛物线定义，那么交点到焦点的距离=交点到准线的距离=2c
根据双曲线定义，准线为x=a^2/c 交...

全部展开

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的坐标是(p/2,0)
抛物线与双曲线有相同的焦点F
即：c^2=a^2+b^2=(p/2)^2
p^2=4c^2
所以y^2=4cx 焦点为(c,0)准线为x=-c
交点垂直于x轴，那么它的横坐标为c
根据抛物线定义，那么交点到焦点的距离=交点到准线的距离=2c
根据双曲线定义，准线为x=a^2/c 交点到准线距离为c-a^2/c
离心率等于交点到焦点距离/交点到准线距离= (c-a^2/c) /2c = c/a
得到c^2-2ac-a^2=0
得到c=(1+根号2)a
所以离心率e=c/a=1+根号2

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抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的坐标是(p/2,0)
抛物线与双曲线有相同的焦点F
即：c^2=a^2+b^2=(p/2)^2
p^2=4c^2
设点A坐标是(m,n)
∵AF⊥X轴
∴m=p/2
n^2=2pm=p^2
而点A是两曲线的交点，所以点A的坐标满足双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0...

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抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的坐标是(p/2,0)
抛物线与双曲线有相同的焦点F
即：c^2=a^2+b^2=(p/2)^2
p^2=4c^2
设点A坐标是(m,n)
∵AF⊥X轴
∴m=p/2
n^2=2pm=p^2
而点A是两曲线的交点，所以点A的坐标满足双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
m^2/a^2-n^2/b^2=1
即：(p/2)^2/a^2-p^2/b^2=1
c^2/a^2-4c^2/(c^2-a^2)=1
两边同时乘以(c^2-a^2)a^2
(c^2-a^2)c^2-4a^2c^2=(c^2-a^2)a^2
c^4-a^2c^2-4a^2c^2=a^2c^2-a^4
c^4-6a^2c^2+a^4=0
两边同时除以a^4
(c/a)^4-6(c/a)^2+1=0
双曲线的离心率e=c/a>1
e^4-6e^2+1=0
e^2=[6+√(6^2-4)]/2=3+2√2
e=√(3+2√2)=1+√2
双曲线的离心率是1+√2
抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的坐标是(p/2,0)
抛物线与双曲线有相同的焦点F
即：c^2=a^2+b^2=(p/2)^2
p^2=4c^2
所以y^2=4cx 焦点为(c,0)准线为x=-c
交点垂直于x轴，那么它的横坐标为c
根据抛物线定义，那么交点到焦点的距离=交点到准线的距离=2c
根据双曲线定义，准线为x=a^2/c 交点到准线距离为c-a^2/c
离心率等于交点到焦点距离/交点到准线距离= (c-a^2/c) /2c = c/a
得到c^2-2ac-a^2=0
得到c=(1+根号2)a
所以离心率e=c/a=1+根号2

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