作业帮已知函数f(x)=8x^3/3-2x^2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)与g(x)有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x,求a,b的值并证明：在公共定义域内恒有f(x)≥g(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 03:14:57
已知函数f(x)=8x^3/3-2x^2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)与g(x)有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x,求a,b的值并证明：在公共定义域内恒有f(x)≥g(x)
已知函数f(x)=8x^3/3-2x^2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x
(1)求f(x)的单调区间
(2)若f(x)与g(x)有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x,求a,b的值并证明：在公共定义域内恒有f(x)≥g(x)
已知函数f(x)=8x^3/3-2x^2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)与g(x)有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x,求a,b的值并证明：在公共定义域内恒有f(x)≥g(x)
(1) 求个导是个2次函数,自己分析下二次函数,理应不难.
(2) 因为ln(1+2x)<=2x（比较下导数即可）,所以g(x)<=2x+x=3x,因此g(x)和y=3x仅有一个交点(0,0).因此说明f(x)过(0,0)点,且在(0,0)点导数为3.
由f(0)=0得a=0,由f'(0)=3得b=3.
f(x)=8x^3/3-2x^2+3x,g(x)=ln(1+2x)+x,f(0)=g(0)=0.
f'(x)=8x^2-4x+3,g'(x)=2/(1+2x)+1,f'(0)=g'(0)=3.
f''(x)=16x-4,g'(x)=-4/(1+2x)^2,f''(0)=g''(0)=-4.
f'''(x)=16,g'''(x)=16/(1+2x)^3,f'''(0)=g'''(0)=16.
f''''(x)=0,g''''(x)=-96/(1+2x)^4,g''''(x)
设h(x)=f(x)-g(x),则h(0)=h'(0)=h''(0)=h'''(0)=0,而h''''(x)>=0,不停地套用拉格朗日中值定理.
h(x)=h(x)-h(0)=x*h'(a1*x) (某a1在0到1之间）
=x*(h'(a1*x)-h'(0))
=x*a1*x*h''(a1*a2*x) (某a2在0到1之间）
=x^2*a1*(h''(a1*a2*x)-h''(0))
=x^2*a1*a1*a2*x*h'''(a1*a2*a3*x) (某a3在0到1之间）
=x^3*a1^2*a2*(h'''(a1*a2*a3*x)-h'''(0))
=x^3*a1^2*a2*a1*a2*a3*x*h''''(a1*a2*a3*a4*x) (某a4在0到1之间）
=x^4*a1^3*a2^2*a3*h''''(a1*a2*a3*a4*x)
>=0.
刚刚做的那些插值略复杂,但实质上就基本是泰勒展开.
《数学辅导团》祝你成功.