作业帮求微分方程通解 y'' + a^2*y = e^x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 14:14:18
求微分方程通解 y'' + a^2*y = e^x
求微分方程通解 y'' + a^2*y = e^x
求微分方程通解 y'' + a^2*y = e^x
是2 阶常系数非齐次线性微分方程,
特征方程 r^2+a^2=0,特征根 r=±ai,
可设特解 y=Ae^x,代入微分方程得 A=1-a^2,
则微分方程的通解是 y=C1cosx+C2sinx+(1-a^2)e^x,
其中 C1,C2 为积分常数.
一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解
二阶微分方程
y''+py'+q=...
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一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解
二阶微分方程
y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。
1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]
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求微分方程通解 y'' + a²y = e^x
先求齐次方程y''+a²y=0的通
其特征方程为r²+a²=0，r²=-a²；r₁=ai，r₂=-ai；故其通解为y=C₁cosax+C₂sinax.
原方程的一个特解为：
y*=(1/a)[sinax∫(e^...
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求微分方程通解 y'' + a²y = e^x
先求齐次方程y''+a²y=0的通
其特征方程为r²+a²=0，r²=-a²；r₁=ai，r₂=-ai；故其通解为y=C₁cosax+C₂sinax.
原方程的一个特解为：
y*=(1/a)[sinax∫(e^x)cosaxdx-cosax∫(e^x)sinaxdx]
【这个积分很麻烦，写出来也看不清楚，你自己积吧】
于是得通解为:
y=C₁cosax+C₂sinax+(1/a)[sinax∫(e^x)cosaxdx-cosax∫(e^x)sinaxdx].
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