作业帮圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 19:17:39
圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
∵A、B、D、C共圆、弧CD＝弧BD,∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC/2.
∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC.
∴cos∠BAC＝AC/AB＝6/10＝3/5、 cos∠BAD＝AD/AB＝AD/10.
显然有：cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2（cos∠BAD）^2－1,∴2（AD/10）^2－1＝3/5,
∴2（AD/10）^2＝1＋3/5＝8/5,∴（AD/10）^2＝4/5,∴AD/10＝2/√5,∴AD＝20/√5＝4√5.
∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BD,∴由勾股定理,有：
BD＝√（AB^2－AD^2）＝√（100－16×5）＝2√（25－20）＝2√5.
∵弧CD＝弧BD,∴CD＝BD＝2√5.
∵PC切⊙O于C,∴∠PCD＝∠PAC,又∠CPD＝∠APC,∴△PCD∽△PAC,
∴PD/PC＝PC/PA＝CD/AC＝2√5/6＝√5/3.
由PD/PC＝√5/3,得：PD＝（√5/3）PC,而PC/PA＝PC/（PD＋AD）＝√5/3,
∴PC/［（√5/3）PC＋AD］＝√5/3,∴PC/［（√5/3）PC＋4√5］＝√5/3,
∴PC＝（5/9）PC＋20/3,∴（1－5/9）PC＝20/3,∴（4/9）PC＝20/3,∴PC＝15.
（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点， ∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB， ∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴ AB AE = AD AB ． ∴AB2=AE•AD．（3分）
（2）∵AE=2，ED=4， ∴AB2=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2 3 （舍负）．（4分）
∵B...
全部展开
（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点， ∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB， ∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴ AB AE = AD AB ． ∴AB2=AE•AD．（3分）
（2）∵AE=2，ED=4， ∴AB2=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2 3 （舍负）．（4分）
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°． 在Rt△ABD中，tan∠ADB= AB AD = 2 /3 6 = 3 3 ，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°．
∴△DEF是等边三角形．
收起