作业帮已知ab是圆o的直径,p为ab上一点,c,d为圆上两点在ab同侧,且∠cpa=∠dpb,求证:c,d、p、o四点共圆
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 08:27:44
已知ab是圆o的直径,p为ab上一点,c,d为圆上两点在ab同侧,且∠cpa=∠dpb,求证:c,d、p、o四点共圆
已知ab是圆o的直径,p为ab上一点,c,d为圆上两点在ab同侧,且∠cpa=∠dpb,求证:c,d、p、o四点共圆
已知ab是圆o的直径,p为ab上一点,c,d为圆上两点在ab同侧,且∠cpa=∠dpb,求证:c,d、p、o四点共圆
已知AB是圆O的直径,P为AB上一点,C,D为圆上两点在AB同侧,且∠CPA=∠DPB,
求证:CDPO四点共圆
延长直径AB,延长CD,相交于S.
延长CP交圆O于M.
延长DP交圆O于N.
因为AB是直径,所有由于对称性,直线MN也经过S.
设圆O的方程是
=0
设P点是(-p,0)
A点是(-1,0)
S点是(-s,0)
设PD斜率是k
则直线CP,DP组成的"X"形,可以看成退化的双曲线.
其方程设为[y-k(x+p)][y+k(x+p)]=0
也就是yy-kk(xx+2px+pp)=0
而直线SD,SM组成的“X"形,可以看成退化的双曲线,且也过CDMN四点.
所以方程可以表示为：
yy-kk(xx+2px+pp)+u(x^2+y^2-1)=0
其中u待定
由于是过s点的“X"形,所以方程应该形如：
[y-w(x+s)][y+w(x+s)]=0
也就是
yy-ww(xx+2sx+ss)=0
所以
yy-kk(xx+2px+pp)+u(x^2+y^2-1)=0
与
yy-ww(xx+2sx+ss)=0
有相同的形式
所以
yy-kk(xx+2xp+pp)+uxx+uyy-u
=(1+u)yy-(kk-u)xx-2kkpx-(u+kkpp)
yy-ww(xx+2sx+ss)=0
(1+u)[yy-ww(xx+2sx+ss)]=0
(1+u)yy-(1+u)ww(xx+2sx+ss)]=0
对应的系数成比例
(1+u)ww=kk-u
2(1+u)wws=2kkp
(1+u)wwss=u+kkpp
所以
(1+u)wws=kkp
(1+u)ww(ss+1)=kk(pp+1)
所以
(ss+1)p=(pp+1)s
所以
0=pps+s-p-pss
所以
(ps-1)(p-s)=0
所以
ps=1
由于圆O半径r是1
所以OP*OS=r^2
SC*SD=SO^2-r^2=OS^2-OP*OS=(OS)(PS)
完毕
CDPO共圆