作业帮设f(x)=ax^2+bx+c 2.已知数列通项公式1.设f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函数y=f(x)的图像与直线y=±x均无交点,求证⑴4ac-b^2＞1 ⑵对于x∈R,恒有|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)2.已知数列通项公式an=sinα/2+sin(2α)/2^2+si
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 02:16:27
设f(x)=ax^2+bx+c 2.已知数列通项公式1.设f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函数y=f(x)的图像与直线y=±x均无交点,求证⑴4ac-b^2＞1 ⑵对于x∈R,恒有|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)2.已知数列通项公式an=sinα/2+sin(2α)/2^2+si
设f(x)=ax^2+bx+c 2.已知数列通项公式
1.设f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函数y=f(x)的图像与直线y=±x均无交点,求证⑴4ac-b^2＞1 ⑵对于x∈R,恒有|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)
2.已知数列通项公式an=sinα/2+sin(2α)/2^2+sin(3α)/2^3+...+sin(nα)/2^n 求证:对于正整数m,n,当m＞n时,|am-an|＜1/2^n
(有一道的解析也十分感谢）
设f(x)=ax^2+bx+c 2.已知数列通项公式1.设f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函数y=f(x)的图像与直线y=±x均无交点,求证⑴4ac-b^2＞1 ⑵对于x∈R,恒有|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)2.已知数列通项公式an=sinα/2+sin(2α)/2^2+si
1.
(1)根据题意f(x)=±x这个方程无解
整理,得到；ax²+(b±1)x+c=0
所以分别得到
Δ=(b+1)²-4ac=b²+2b+1-4ac<0
Δ=(b-1)²-4ac=b²-2b+1-4ac<0
上述两个不等式相加,得到
2b²+2-8ac<0整理一下,得到
4ac-b²＞1
(2) 分布讨论一下y=±x均无交点
当a>0时,二次函数开口向上,存在最小值
所以f(x)=a[x+(b/2a)]²+[(4ac-b²)/4a],其最小值为(4ac-b²)/4a
在(1)中,已经证明了4ac-b²＞1,所以(4ac-b²)/4a>1/4a=1/(4|a|)>0
所以f(x)>1/(4|a|)>0,因此
|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)
当a<0时,二次函数存在最大值,与上面同理,最大值为(4ac-b²)/4a
由于已经证明4ac-b^2＞1,同时a<0,所以(4ac-b²)/4a<0
又由于4ac-b^2＞1,所以(4ac-b²)/4a<1/4a
此外f(x)=<1/4a<0
全是负数,取绝对值后,不等式边方向,于是得到
|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)
综上|ax^2+bx+c|＞1/(4|a|)成立
2. 见图