如图1,在三角形ABC中,AD垂直BC于点D,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F（1）试说明：AB的平方=BD的平方+AF×AC；∠AEF=∠C（2）如图2,若D1为AD上一点,过点D1作点D1E垂直于AB于点E,D1F垂直于AC于点F,∠AEF=∠C吗

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 10:36:56

如图1,在三角形ABC中,AD垂直BC于点D,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F（1）试说明：AB的平方=BD的平方+AF×AC；∠AEF=∠C（2）如图2,若D1为AD上一点,过点D1作点D1E垂直于AB于点E,D1F垂直于AC于点F,∠AEF=∠C吗
如图1,在三角形ABC中,AD垂直BC于点D,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F
（1）试说明：AB的平方=BD的平方+AF×AC；∠AEF=∠C
（2）如图2,若D1为AD上一点,过点D1作点D1E垂直于AB于点E,D1F垂直于AC于点F,∠AEF=∠C吗?说明理由
（3）如图3,若D2为AD上的延长线上一点,过点D2作D2E垂直于AB于点E,D2F垂直于AC于点F,∠AEF=∠C吗?说明理由

如图1,在三角形ABC中,AD垂直BC于点D,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F（1）试说明：AB的平方=BD的平方+AF×AC；∠AEF=∠C（2）如图2,若D1为AD上一点,过点D1作点D1E垂直于AB于点E,D1F垂直于AC于点F,∠AEF=∠C吗
这个图里的到底是D1还是D2呢?看不太清楚.D 是BC上任意一点吗?请把题目写完整.

http://czsx.lnes.cn/zhongkao/UploadFiles_4825/200903/2009031215385441.ppt#268,13,幻灯片 13
找找看

1、在RT△ADF和RT△ACD中，〈DAF=〈CAD（公用角），

〈AFD=〈ADC=90度，

RT△ADF∽RT△ACD，

AD/AC=AF/AD，AD^2=AF*AC,(这本是一个定理，即直角三角形一个直角边是其在斜边的射影和斜边的比例中项)，

在直角三角ABD中，根据勾股定理，AB^2-BD^2=AD^2,

AB^2-BD^2=AF*AC,

即：AB^2=BD^2+AF*AC,

∵DE⊥AB，DF⊥AC，〈AED+〈AFD=180度，

∴A、E、D、F四点共圆，

∴〈AEF=〈ADF（同弧圆周角相等），

由前所述，〈ADF=90度-〈DAC，〈C=90度-〈DAC，

〈ADF=〈C，

∴〈AEF=〈C，证毕。

2、把前E、F分别改成E’ ,F’则由前所述〈AE’F’=<C,

DE’⊥AB，D1E⊥AB，DE’‖DE，DF⊥AC，

DF’⊥AC，D1F‖DF’,由三角形平行线段的性质可知，AE/AE’=AD1/AD=AF/AF’,

EF‖E’F’,

∴<AEF=<AE’F’,(同位角相等)，

∴〈AEF=〈C。

3、证明方法同2，相等。