四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB//DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC(1）证明：SE=2EB;(2)求二面角A-DE-C的大小

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 03:26:32

四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB//DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC(1）证明：SE=2EB;(2)求二面角A-DE-C的大小
四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB//DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC
(1）证明：SE=2EB;
(2)求二面角A-DE-C的大小

四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB//DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC(1）证明：SE=2EB;(2)求二面角A-DE-C的大小
1、在平面ABCD上作BH⊥CD,垂足H,连结DB,
则四边形ABHD是正方形,
CH=1,BH=1,BD=BC=√2,
则△BDC是等腰RT△,
BC⊥BD,SD⊥平面ABCD,根据三垂线定理,BC⊥SB,BC⊥平面SBD,
BC∈ 平面SBC,
平面SBC⊥平面SDB,
平面DEC⊥平面SBC,
平面SBD∩平面SBC=DE,
则DE⊥平面SBC,（两平面同时垂直一个平面,则其交线必垂直该平面）,
SB∈平面SBC,
则DE⊥SB,三角形SDB是RT△,
SD^2=SE*SB,（直角三角形直角边是其射影和斜边的比例中项）,
SD=2,SB=√（SD^2+BD^2）=√6,
SE=2√6/3,
同理,BE=AB^2/SE=2 /√6=√6/3,
SE/BE=2,
∴SE=2EB.
2、以D为原点建立空间直角坐标系,DA为X轴正方向,DC为Y轴正方向,DS为Z轴正方向,D（0,0,0）
A（1,0,0）,B（1,1,0）,C（0,2,0）,
S（0,0,2）,E（2/3,2/3,2/3）,
向量AE=（-1/3,2/3,2/3）,向量DE（2/3,2/3,2/3）,
向量CE=（2/3,-4/3,2/3）,
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,1),平面DEC法向量n2=(x2,y2,1),
n1⊥AE,
n1•AE=0,
-x1/3+2y1/3+2/3=0
n1⊥DE,
n1•DE=0,
2x1/3+2y1/3+2/3=0,
x1=0,
y1=-1,
n1=(0,-1,1)
同理n2⊥DE,
n2•DE=0,
2x2/3+2y2/3+2/3=0,
n2⊥CE,
2x2/3-4y2/3+2/3=0,
y2=0,
x2=-1,
n2=(-1,0,1)
n1•n2=1,
设二法向量成角为θ,
|n1|=√2,
|n2|=√2,
cosθ= n1•n2/(|n1||n2|)=1/2
θ=π/3,
θ为锐角,而二面角应是钝角,
∴θ=2π/3.